Геометрія. Тема: Теорема про три перпендикуляри.

Конспект уроку геометрії з презентацією для 10 класу

Тема уроку.   Теорема про три перпендикуляри 
Мета:

- навчальна

сформувати в учнів поняття про теорему про три перпендикуляри, про відстань від точки до прямої, засвоїти доведення теореми;

- розвиваюча

сформувати вміння застосовувати теорему до розв’язування вправ;

розвивати вміння розпізнавати на рисунках вивчене співвідношення між перпендикулярами та похилою;

розвивати просторову уяву, логічне мислення;

- виховна

виховувати культуру мовлення і математичних записів;

виховувати активність, самостійність.

Тип уроку:  урок засвоєння нових знань

Обладнання:   мультимедійна презентація.

Підручник:

М.І. Бурда, Н.А. Тарасенкова «Геометрія. Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Академічний рівень». – К. «Зодіак-ЕКО», 2010.

Хід уроку

І. Організаційний момент

Привітання. Підготовка до уроку.

ІІ. Актуалізація опорних знань

Запитання до класу

1. Сформулюйте означення прямої, перпендикулярної до площини. (слайд 2)

2. Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої та площини. (слайд 2)

3. Скільки прямих, перпендикулярних до даної площини, можна провести через дану точку?

4. Задача. (слайд 3)

АВСD – прямокутник, МА ┴ АВ. Визначте пряму і

площину,  які перпердикулярні одна до одної.

5. Задача. (слайд 4)

АВСD – паралелограм, МА=MC, MB=MD.
Чи буде пряма MO перпендикулярна до площини ABC?

6. Що називається перпендикуляром, опущеним з даної точки на площину? (слайд 5)

7. Що називається похилою?

8. Що називається проекцією похилої?

9. Сформулюйте властивості перпендикуляра і похилої.

Самостійно розв’язати задачі за готовими кресленнями (записати тільки розв’язання)

АА₁ – перпендикуляр до площини α , АВ і АС – похилі. Знайти х. (слайд 6)

1)                                                            2)                                                                             3)

Перевіримо відповіді: 1) 13;   2) 6;   3) 18.

Запитання до класу (слайд  7)

1. Що називається відстанню від точки до площини?

2. Що називається відстанню від точки до прямої в площини?

3. Що називається відстанню від точки до прямої, як пряма лежить у площині α, а точка цій площині не належить?

4*. Задача. (слайд 8)

Дано: ΔABC,      B=90⁰,      A =30⁰, AC=8см, AM=BM=CM=5см.
1) Знайти відстань від точки M до площини ABC;

Розв’язання:

Шуканою відстанню від т. М до площини АВС є довжина перпендикуляра, опущеного  з т. М на площину АВС.

Т.я. AM=BM=CM, то т. О – основа перпендикуляра МО, опущеного з т. М на площину АВС, є центром кола, описаного навколо трикутника АВС. Оскільки трикутник АВС – прямокутний (АС – гіпотенуза), то АО=1/2 АС, АО=4см.

Трикутник АОМ– прямокутний (кут О – прямий). АМ=5см, АО=4см, МО=3см.

Відповідь: 3см.
2) Знайти відстань від точки M до прямої AB.  Як це зробити?

IІІ. Формулювання теми та мети уроку. Мотивація навчальної діяльності (слайди 9- 10)

Одним із найважливіших етапів розв’язання стереометричних задач є побудова та обґрунтування відстаней від точки до прямої і площини. А одна із центральних теорем стереометрії – це теорема про три перпендикуляри, яка дає теоретичну базу для таких обґрунтувань.

ІV. Сприйняття і усвідомлення нового матеріалу

Формулювання та колективне доведення теореми про три перпендикуляри.

Теорема про три перпендикуляри (слайд 11)

Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції на цю площину, то вона перпендикулярна і до самої похилої.

                                  

Доведення

На прямій AB  виберемо точки P і N такі, що KN = KP. ΔPON – рівнобедрений.

Тоді OP = ON. MP = MN  як похилі до площини α, проекції яких OP і ON також рівні. Отже, ΔPMN – рівнобедрений, MK – його медіана. Тому MK ┴ AB.

Теорема доведена.

Теоремою про три перпендикуляри її називають тому, що MO ┴ α , OK ┴ AB, AB ┴ MK.

Теорема, обернена до  теореми про три перпендикуляри(слайд 13)

   Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і  до  проекції похилої.

 Учням пропонується довести теорему, аналогічно до попереднього доведення. (слайд 14)

V. Формування вмінь і відпрацювання навичок

1. Усні вправи

а) З точки A, яка не належить площині, проведено до цієї площини перпендикуляр  і похилу. Як у площині провести пряму, перпендикулярну до похилої?

б) (слайд 15) Дано куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Назвіть відрізки і перпендикулярні їм прямі.

в) (слайд 16 )

Дано: АВСD – ромб.

Пряма а перпендикулярна (АВС)

Довести: МО ┴ ВD

г) (слайд  17 )

Дано: АВСD – паралелограм.

Пряма а перпендикулярна (АВС)

Довести: АВСD – прямокутник

2. Самостійне розв’язання вправ

На кожному із рисунків з точки М опустити перпендикуляр на пряму АВ, якщо МО ┴ (АВС). (слайд  18)

1)                             2)                                  3)

 

Перевірити і обґрунтувати побудову  

Довжина кожного з побудованих відрізків є відстанню від точки М до прямої АВ.

3. Розв’язування  вправ на обчислення

1. Повернемося до задачі 4*.

Дано: ΔABC,      B=90⁰,    A =30⁰, AC=8см, AM=BM=CM=5см
1) Знайти відстань від точки M до площини ABC;

2) Знайти відстань від точки M до прямої AB. (слайд 22)

2. До площини прямокутного трикутника ABC ( C = 90⁰) проведено перпендикуляр DA. Знайдіть відстань від точки Dдо точки B, якщо BC = 5 см, DC = 12 см. (слайд 23)

 3. Дано квадрат ABCD, до площини якого проведено перпендикуляр SB. Знайдіть відстань від точки S до вершини квадрата D, якщо сторона квадрата 3 см,  AS = 4 см. (слайд 24 )

4. АВСD – квадрат, ВМ ┴ (АВС), ВМ=4см, АВ=2см. Знайти відстань від точки М до сторін і діагоналей квадрата. (слайд 25 )

 5. З вершини А рівнобедреного трикутника АВС (АС=ВС)  проведено перпендикуляр МА, довжина якого 5см. Знайти відстань від т. М до прямої ВС, якщо кут С дорівнює 120⁰ і ВС=8см. (слайд 26 )

VI. Підсумок уроку

 1. Запитання до класу

1. Сформувати теорему про три перпендикуляри.

2. Які означення і теореми було використано в ході доведення ТТП.

3. Укажіть взаємне розташування прямих a і b 

                               

4.  З вершини A рівнобедреного трикутника ABC проведено перпендикуляр AD до його площини. Знайти відстань від точки D до відрізка BC, якщо основа BC  рівнобедреного трикутника ABC дорівнює 12 см, бічна сторона 10 см, довжина перпендикуляра AO дорівнює 6 см.

2. Виставлення оцінок

VII. Домашнє завдання 

§ 11 вивчити, № 415, № 429, № 434

№ 415

З середини О гіпотенузи АВ прямокутного трикутника АВС до його площини проведено перпендикуляр ОМ. Проведіть перпендикуляри з точки М до катетів АС і ВС. Поясніть будову.

№ 429

АМ – перпендикуляр до площини прямокутника АВСD. Знайдіть АМ, якщо МВ=15см, МС=24см, МD=20см.

№ 434

Діагоналі ромба АВСD дорівнюють 30см і 40см. З вершини А ромба проведено перпендикуляр АМ до його площини. Знайдіть відстань від точки М до протилежної сторони ромба, якщо АМ=10см.